レーダー方程式

何が求まるか

モノスタティックレーダー(送受同一アンテナ)で、送信電力 $P_t$・アンテナ利得 $G$・波長 $\lambda$・目標のレーダー断面積 $\sigma$ から、距離 $R$ における受信電力 $P_r$ が求まる。 受信機の最小検出電力 $S_{\min}$ を与えれば最大探知距離 $R_{\max}$ も求まる。 前提は点目標・自由空間・無損失。レーダーの性能設計・性能限界の議論はすべてこの式から出発する。

結論式

$$P_r = \frac{P_t\, G^2\, \lambda^2\, \sigma}{(4\pi)^3 R^4}$$ $$R_{\max} = \left[ \frac{P_t\, G^2\, \lambda^2\, \sigma}{(4\pi)^3 S_{\min}} \right]^{1/4}$$

適用範囲と前提

• モノスタティック(送受同一アンテナ)。 $G^2$ はこの仮定から来る。送受を分けるバイスタティック配置では $G_t G_r$、距離依存は $R_t^2 R_r^2$ になる。
• 点目標。 目標がビーム幅・分解能セルに収まる場合。雨や地面クラッタのような分布目標では体積・面積で積分した別形式になり、$R^4$ 依存にならない。
• 自由空間。 マルチパス・大気減衰・回折を含まない。システム損失 $L$ も無視している(実用形は分母に $L$ が入る)。
• 遠方界。 $R$ がアンテナの遠方界距離 $2D^2/\lambda$($D$: 開口径)より十分大きいこと。
• 偏波整合・インピーダンス整合。 受信偏波が散乱波と一致し、受信機が整合負荷であること。

計算機

導出

往路の拡散 → 目標での再放射 → 復路の拡散 → 開口での受信、の 4 段階に分ける。

(1) 往路: 目標位置での電力密度。 等方放射なら電力 $P_t$ は半径 $R$ の球面 $4\pi R^2$ に一様に広がる。利得 $G$ のアンテナはこれをビーム方向に $G$ 倍集中させるので、目標位置での電力密度は

$$S_1 = \frac{P_t G}{4\pi R^2} \quad [\mathrm{W/m^2}]$$

(2) 目標での再放射。 レーダー断面積 $\sigma$ [m²] は「入射電力密度 $S_1$ を面積 $\sigma$ で捕捉し、等方に再放射すると見なしたときの等価面積」として定義される。目標がレーダー方向へ返す電力は $\sigma S_1$ である。

(3) 復路: レーダー位置での電力密度。 再放射は等方とみなすので、再び球面拡散が掛かり

$$S_2 = \frac{\sigma S_1}{4\pi R^2} = \frac{P_t G \sigma}{(4\pi)^2 R^4}$$

$R^4$ はここで確定する。往路と復路でそれぞれ $1/R^2$ の球面拡散を受けるためである。

(4) 開口での受信。 受信アンテナは実効開口面積 $A_e$ で電力密度を受け取る。利得と実効開口には $A_e = G\lambda^2 / 4\pi$ の関係があるから(前提ノート参照)、

$$P_r = S_2 A_e = \frac{P_t G \sigma}{(4\pi)^2 R^4} \cdot \frac{G \lambda^2}{4\pi} = \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4}$$

最大探知距離。 受信機が検出できる最小電力を $S_{\min}$ とし、$P_r = S_{\min}$ とおいて $R$ について解くと

$$R_{\max} = \left[ \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 S_{\min}} \right]^{1/4}$$

指数が $1/4$ であることが実務上の要点になる。$R_{\max}$ は送信電力の 4 乗根でしか伸びない。 探知距離を 2 倍にするには送信電力(あるいは $G^2\sigma$ 等の積)を 16 倍にする必要があり、 送信電力を 4 倍にしても距離は $\sqrt{2} \approx 1.4$ 倍にしかならない。

数値例

教科書の丸い数字で計算する。$P_t = 1\ \mathrm{kW}$、$G = 30\ \mathrm{dB}$(真数 1000)、$\lambda = 0.03\ \mathrm{m}$(約 10 GHz)、$\sigma = 1\ \mathrm{m^2}$、$R = 1\ \mathrm{km}$。

分子:

$$P_t G^2 \lambda^2 \sigma = 10^3 \times 10^6 \times 9 \times 10^{-4} \times 1 = 9 \times 10^5$$

分母: $(4\pi)^3 \approx 1984$、$R^4 = 10^{12}\ \mathrm{m^4}$ なので

$$P_r = \frac{9 \times 10^5}{1984 \times 10^{12}} \approx 4.5 \times 10^{-10}\ \mathrm{W} \approx -63\ \mathrm{dBm}$$

1 kW 送信しても 1 km 先の 1 m² 目標からは 0.45 nW しか返らない。この 13 桁の落差が、レーダー受信機に高感度と大ダイナミックレンジが要求される理由である。

次に $S_{\min} = -100\ \mathrm{dBm} = 10^{-13}\ \mathrm{W}$ とすると

$$R_{\max}^4 = \frac{9 \times 10^5}{1984 \times 10^{-13}} \approx 4.5 \times 10^{15}\ \mathrm{m^4} \quad\Rightarrow\quad R_{\max} \approx 8.2\ \mathrm{km}$$

送信電力を 4 倍の 4 kW にしても $R_{\max} \approx 11.6\ \mathrm{km}$(1.4 倍)にしかならない。

ありがちな誤り

1. $R^2$ と取り違える。 片道リンク(フリスの伝達公式・自由空間伝搬損失)は $1/R^2$。レーダーは往復それぞれで球面拡散を受け、しかも目標で一度再放射するため $1/R^4$ になる。導出の (1) と (3) で $1/R^2$ が 2 回掛かることを押さえる。
2. バイスタティックにそのまま $G^2$ を使う。 $G^2$ は送受同一アンテナの帰結。送受分離では $G_t G_r$、距離依存は $R_t^2 R_r^2$。
3. $\lambda^2$ を「伝搬の性質」と誤解する。 $\lambda^2$ は受信実効開口 $A_e = G\lambda^2/4\pi$ 由来。$G$ 一定で比べれば $P_r \propto \lambda^2$ だが、開口面積一定で比べれば $G \propto 1/\lambda^2$ なので $P_r \propto 1/\lambda^2$ と逆転する。何を固定した比較かを言わずに「波長が長いほど有利」とは言えない。
4. 送信電力と探知距離を線形に結びつける。 $R_{\max} \propto P_t^{1/4}$。電力 4 倍で距離 1.4 倍、距離 2 倍には電力 16 倍。送信電力の増強は探知距離改善の手段として効率が悪く、$G$(開口)や $S_{\min}$(信号処理利得)の改善が効く理由でもある。
5. $\sigma$ を幾何学的断面積と混同する。 RCS は散乱の等価面積であり、形状・材質・周波数・姿勢角に依存する。幾何学的な投影面積と桁で異なることも珍しくない(コーナーリフレクタは幾何面積よりはるかに大きく、ステルス形状は小さい)。

出典

• M. I. Skolnik, "Introduction to Radar Systems," 3rd ed., McGraw-Hill, 2001, Chap. 1
• IEEE Std 686-2017, IEEE Standard for Radar Definitions(RCS 等の用語定義)

更新履歴

版	日付	変更内容
1.1	2026-08-01	往復拡散(R⁴)の図を追加
1.0	2026-07-26	初版